德国数学家外尔斯特拉斯（Weierstrass：1815--1897）也算业余高手，后来走上了职业数学家的道路。他开始是学习法律和财经，一度在在中学任教。这大概是中学数学教师中最杰出的一位了。德国是一个多出哲学家的国度，德国人又以严格认真见长，外尔斯特拉斯也是一样，他的品性最能体现德国人对待真理的态度了。他最大的贡献是在微积分严格化上作出了杰出的贡献。

 微积分在创立初期，理论上还不够严密性，无穷小变成了神秘和随心所欲被理解的量。因此1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表了文章《向一个不信神的数学家的进言》，矛头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。他指出："牛顿在求x^n的导数时，采取了先给x以增量０，应用二项式（x+0）^n，从中减去x^n以求得增量，并除以０以求出x^n的增量与x的增量之比，然后又让０消逝，这样得出增量的最终比。这里牛顿做了违反矛盾律的手续──先设x有增量，又令增量为零，也即假设x没有增量。"他认为无穷小dx既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬，）"是消失了的量的鬼魂......能消化得了二阶、三阶流数的人，是不会因吞食了神学论点就呕吐的。"无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。导致了数学史上的第二次数学危机。

 外尔斯特拉斯和法国的一些数学家一道，使得微积分无懈可击。

 外耳斯特拉斯还告诉我们，直观有时是靠不住甚至是完全错误的。从前人们直观上一直认为连续曲线肯定是光滑的，或者大多数点都是光滑的。用在函数上，就是一直认为连续函数是可导的，或者在多数点是可导的。可是外尔斯特拉斯却举出一个反例，在每一个点都连续，却有在任何点都不可导。他举出这个函数是画不出图像的，当时作为一个中学教师，的确令数学家们大跌了眼镜。

 1851年，大数学家高斯最得意的弟子黎曼，在博士论文中提出了一个原理：狄利赫来（Dirichlet）原理，利用这个‘原理'，可以美妙的解决变分中提出的一系列问题，并且在数学物理上有着广泛的应用。按照微积分理论，狄利赫来原理应该算是理所当然成立的。可是外尔斯特拉斯却说："不加证明的使用狄利赫来原理，是不严格的。"黎曼也是很谦虚的，便回应到："您说的对，不过这个原理肯定是正确的，很快我就会证明出来。"但是黎曼直到去世也没有证明出来，又是这个中学教师，举出了一个反例，彻底推翻了狄利赫来原理。于是黎曼博士论文中的一切结果都是值得怀疑的了。因此数学家卡尔.诺依曼叹息道："如此美妙而又有广泛应用前景的原理，已经永远从我们视野中消失了。"

 1899年，旷世奇才希尔伯特（Hilbert）用了不到6页纸，通过附加一个条件，就消除了黎曼理论的缺陷，从而挽救了这个原理。更神奇的是，还挽救了黎曼的名声，因为用这个改造的原理发现黎曼所得的其它结果又都是正确的了。

 这真是群星闪耀的年代，是数学家自由飞翔的年代。可惜一去不复返了。